Coudée royale, « MIR » et coudée punique : quand les anciennes mesures rencontrent π et le nombre d’or

Une formule très simple suffit à ouvrir une enquête étonnante. Elle relie le mètre à une unité appelée ici « MIR », dont la valeur est très proche de celle de la coudée royale égyptienne.

La formule proposée est :

1 m = 1 ÷ (π − φ − 1) MIR

Dans cette expression, π désigne le nombre pi et φ le nombre d’or :

φ = (1 + √5) ÷ 2 = 1,6180339887

Calculons d’abord le dénominateur :

π − φ − 1 = 0,5235586648

Nous obtenons donc :

1 m = 1 ÷ 0,5235586648 MIR

soit :

1 m = 1,9100056 MIR

Pour connaître la longueur d’un MIR exprimée en mètres, il suffit d’inverser cette relation :

1 MIR = (π − φ − 1) m

Ainsi :

1 MIR = 0,5235586648 m

soit :

1 MIR = 52,3559 cm

Cette valeur est presque identique aux 52,36 cm couramment attribués à la coudée royale égyptienne.

Par ailleurs, puisque le nombre d’or possède la propriété :

φ² = φ + 1

la formule peut également s’écrire :

1 MIR = (π − φ²) m

Il ne s’agit donc pas d’une autre formule, mais d’une écriture équivalente de la relation initiale.

Faut-il y voir la trace d’un ancien système mathématique associant la coudée, le mètre, π et le nombre d’or ? La proximité est suffisamment précise pour mériter notre attention. Elle impose néanmoins de distinguer trois éléments : la mesure archéologique, la relation mathématique et l’intention historique prêtée aux bâtisseurs.

 I. La coudée royale, une véritable unité égyptienne

La coudée constituait l’une des principales unités de longueur de l’Égypte ancienne. Son nom est généralement transcrit mḥ, tandis que la coudée royale est appelée mḥ nsw, littéralement la « coudée du roi ».

Elle était divisée en 7 paumes, chaque paume comprenant 4 doigts, soit un total de 28 doigts.

Des règles graduées en bois ou en pierre ont été retrouvées dans des tombes et des temples. À partir des exemplaires conservés, l’University College London estime que la coudée égyptienne correspondait à environ 52 cm. [1]

Selon les étalons retenus et les méthodes de reconstitution, les valeurs publiées se situent généralement autour de 52,3 à 52,5 cm. La valeur de 52,36 cm est aujourd’hui fréquemment utilisée comme valeur conventionnelle de la coudée royale.

Il ne faut cependant pas lui attribuer la précision absolue d’un étalon industriel moderne. Les règles antiques présentent de légères différences, tandis que l’usure et l’état de conservation ne permettent pas toujours une lecture au dixième de millimètre.

L’University College London rappelle d’ailleurs que la précision des anciens systèmes de mesure ne peut pas être appréciée exactement de la même manière que celle des mesures modernes. [2]

Le terme « MIR », en revanche, n’est pas le nom historique connu de la coudée royale. Dans la formule étudiée ici, il doit être compris comme une désignation moderne, et non comme un mot retrouvé dans les textes hiéroglyphiques.

 II. Une correspondance numérique spectaculaire

Prenons la valeur de π :

π = 3,1415926536

Le nombre d’or est obtenu par la formule :

φ = [1 + √5] ÷ 2

Sa valeur est :

φ = 1,6180339887

Puisque :

φ² = φ + 1

nous pouvons calculer :

π − φ − 1 = π − φ² = 0,5235586648

La différence avec une coudée conventionnelle de 0,5236 m est seulement de :

0,5236 − 0,5235586648 = 0,0000413352 m

Cela représente environ 0,041 mm, soit un écart relatif proche de 0,008 %.

Cette proximité est indéniablement remarquable. Elle ne démontre cependant pas, à elle seule, que les Égyptiens aient défini leur coudée à partir de la formule π − φ².

Aucun texte antique actuellement connu ne donne cette formule. Par ailleurs, le mètre n’a reçu sa définition moderne qu’à la fin du XVIII^e siècle.

 III. La coudée royale apparaît sur un cercle

Une autre relation, encore plus directe, associe la valeur conventionnelle de la coudée royale à π :

π ÷ 6 = 0,5235987756

Cette valeur correspond à :

0,5235987756 m = 52,3599 cm

Nous retrouvons donc presque exactement la valeur conventionnelle de la coudée royale : 52,36 cm.

Pour comprendre cette relation géométriquement, prenons un cercle possédant un rayon de 1 mètre.

La circonférence d’un cercle est calculée ainsi :

Circonférence = 2 × π × rayon

Pour un rayon de 1 mètre :

Circonférence = 2 × π = 6,2831853 m

Un arc de 30 degrés représente un douzième du cercle complet, puisque :

360° ÷ 12 = 30°

La longueur de cet arc est donc :

6,2831853 ÷ 12 = 0,5235988 m

soit :

52,3599 cm

La longueur conventionnelle d’une coudée royale correspond donc presque exactement à l’arc de 30 degrés d’un cercle possédant un rayon d’un mètre.

Il faut être précis sur les termes employés : la coudée royale n’est pas ici le rayon du cercle. Le rayon mesure un mètre. La coudée apparaît sur la circonférence, sous la forme d’un arc de 30 degrés.

Cette construction établit nécessairement une relation avec π, puisque la longueur de tout arc de cercle dépend de π.

Elle rapproche également deux formules apparemment différentes :

π − φ² = 0,5235586648

π ÷ 6 = 0,5235987756

La différence entre les deux résultats est seulement d’environ :

0,040 mm

Le rapprochement entre π, le nombre d’or et la coudée royale est donc mathématiquement très serré.

La question historique reste cependant entière : cette convergence a-t-elle été volontairement recherchée ou a-t-elle été découverte après coup en exprimant une ancienne mesure dans le système métrique ?

 IV. La coudée punique, une autre mesure antique intrigante

Une seconde unité ancienne vient enrichir cette enquête : la coudée punique, généralement évaluée à environ 51,5 cm.

Le qualificatif « punique » renvoie au monde carthaginois et phénicien d’Afrique du Nord.

Cette unité est notamment étudiée à partir de tables métrologiques antiques découvertes à Thibilis, dans l’actuelle Algérie, et à Lepcis Magna, dans l’actuelle Libye.

Ces tables portent plusieurs longueurs de référence et témoignent de la coexistence de différents systèmes de mesure dans l’Afrique du Nord antique. [3]

Les graduations attribuées à la coudée punique donnent des valeurs voisines de 51,4 à 51,7 cm. Une valeur conventionnelle d’environ 51,5 cm peut donc être retenue :

1 coudée punique ≈ 0,515 m

Cette valeur est très proche d’une expression associant le nombre d’or et π :

φ ÷ π = 0,5150362148

Comparons les deux longueurs :

Coudée punique conventionnelle = 0,515 m

φ ÷ π = 0,5150362148 m

L’écart entre ces deux valeurs est seulement d’environ :

0,036 mm

Cette différence est largement inférieure à l’incertitude réelle avec laquelle une mesure antique peut être reconstituée.

 V. Un cercle dont le diamètre vaut une coudée punique

La relation devient particulièrement élégante lorsqu’on construit un cercle dont le diamètre mesure une coudée punique.

La circonférence d’un cercle se calcule à partir de son diamètre :

Circonférence = π × diamètre

Si la coudée punique correspond à φ ÷ π mètre, nous obtenons :

Diamètre = φ ÷ π mètre

La circonférence devient alors :

Circonférence = π × [φ ÷ π]

Les deux valeurs de π se simplifient. Il reste donc :

Circonférence = φ mètre

Autrement dit :

Un cercle dont le diamètre mesure une coudée punique possède une circonférence d’environ 1,618 m, soit le nombre d’or exprimé en mètres.

Vérifions maintenant le résultat avec la valeur archéologique arrondie de 0,515 m :

Circonférence = π × 0,515

Circonférence = 1,617920 m

Le nombre d’or vaut :

φ = 1,618034

La différence est seulement d’environ :

0,114 mm

La correspondance est donc particulièrement précise.

 VI. Lorsque la coudée punique devient le rayon

La coudée punique peut également être placée sur le rayon d’un cercle.

Dans ce cas, la circonférence est donnée par :

Circonférence = 2 × π × rayon

Si le rayon est égal à une coudée punique de 0,515 m :

Circonférence = 2 × π × 0,515

Nous obtenons :

Circonférence ≈ 3,235840 m

Or, deux fois le nombre d’or donnent :

2 × φ = 3,236068

La circonférence du cercle est donc extrêmement proche de deux fois le nombre d’or exprimé en mètres.

Cette présence de la coudée punique sur le rayon entraîne forcément un rapport avec π : dès qu’une longueur est choisie comme rayon, la circonférence du cercle vaut 2 × π fois cette longueur.

Mais la proximité avec 2φ provient plus précisément de la relation :

1 coudée punique ≈ φ ÷ π mètre

Nous pouvons ainsi résumer les deux constructions :

• Diamètre égal à une coudée punique : la circonférence vaut approximativement φ mètre.

• Rayon égal à une coudée punique : la circonférence vaut approximativement 2φ mètres.

La première relation est la plus simple. La seconde montre clairement comment la coudée punique, placée sur le rayon d’un cercle, se trouve nécessairement reliée à π.

 VII. Deux coudées au croisement de π et du nombre d’or

Mesure	Valeur conventionnelle	Expression proposée	Valeur calculée
Coudée royale	0,5236 m	π ÷ 6 m	0,5235988 m
« MIR » ou coudée royale	0,5236 m	π − φ² m	0,5235587 m
Coudée punique	0,515 m	φ ÷ π m	0,5150362 m

Ces calculs sont exacts :

• la coudée royale se situe de manière saisissante près de π ÷ 6 m ;

• elle est également très proche de π − φ² m ;

• la coudée punique se place près de φ ÷ π m ;

• utilisée comme diamètre, la coudée punique produit une circonférence proche de φ m ;

• utilisée comme rayon, elle produit une circonférence proche de 2φ m.

Il existe donc bien un ensemble cohérent de relations numériques.

Cependant, ces expressions sont toutes formulées en mètres. Ce point est fondamental : si l’on change d’unité de référence, leur forme actuelle disparaît.

Pour conclure que les Anciens ont volontairement conçu ces longueurs à partir de π et du nombre d’or, il faudrait donc établir qu’ils disposaient eux-mêmes d’un étalon équivalent au mètre, ou d’une construction géométrique produisant naturellement cette longueur sans employer le mètre comme point de départ.

Il faudrait surtout découvrir des indices indépendants :

• un texte ancien décrivant cette construction ;

• un schéma géométrique identifiable ;

• une procédure métrologique reproductible ;

• plusieurs étalons donnant systématiquement le même résultat ;

• ou la répétition des mêmes rapports dans différents monuments clairement datés.

Sans cela, nous pouvons constater une correspondance mathématique, mais pas encore démontrer l’intention de ceux qui ont fixé ces unités.

 VIII. Les Égyptiens connaissaient-ils π ?

Les Égyptiens savaient calculer l’aire d’un cercle à l’aide d’une approximation efficace.

Le problème 50 du papyrus mathématique Rhind, copié vers 1550 avant notre ère à partir d’un texte plus ancien, utilise une méthode équivalant approximativement à :

π ≈ 256 ÷ 81

Ce qui donne :

π ≈ 3,16049

Cette approximation n’est pas exactement identique à notre valeur moderne de π, qui commence par 3,14159, mais elle permettait d’obtenir des résultats suffisamment précis pour des usages pratiques.

Le papyrus Rhind rassemble des problèmes d’arithmétique, de géométrie, de calcul des volumes et de construction. [4]

Cette documentation invite à éviter deux excès opposés : sous-estimer les connaissances mathématiques des Égyptiens ou, au contraire, leur attribuer sans preuve notre formulation moderne des constantes irrationnelles.

Pour le nombre d’or, la prudence doit être encore plus grande. Des proportions proches de φ peuvent apparaître dans certaines constructions, mais aucun document égyptien actuellement connu ne définit explicitement la formule :

φ = [1 + √5] ÷ 2

comme une constante mathématique abstraite.

 IX. Une relation avec le mètre qui pose question

La précision de ces correspondances soulève une difficulté supplémentaire : elles apparaissent lorsque les coudées sont exprimées dans notre système métrique.

La coudée royale mesure approximativement :

0,5236 m

La coudée punique mesure approximativement :

0,515 m

Ces nombres prennent un sens particulier parce que le mètre est utilisé comme unité de référence.

Or, le système métrique moderne fut officiellement établi à la fin du XVIII^e siècle. Le mètre fut initialement défini à partir d’une fraction du méridien terrestre.

La présence apparente du mètre dans des relations antiques peut recevoir plusieurs explications :

• il peut s’agir d’une coïncidence numérique ;

• les unités anciennes et le mètre peuvent avoir été indirectement dérivés de dimensions naturelles ou terrestres comparables ;

• certaines anciennes unités ont pu être construites à partir de principes géométriques produisant fortuitement des valeurs proches du mètre ;

• ou un ancien système métrologique aujourd’hui disparu a pu servir de référence commune.

À ce jour, aucune de ces possibilités ne peut être considérée comme définitivement démontrée.

 X. Coïncidence, héritage métrologique ou système volontaire ?

Trois grandes interprétations peuvent être envisagées.

1. La coïncidence numérique

Lorsque de nombreuses constantes, unités et opérations sont comparées, certaines correspondances très précises peuvent apparaître fortuitement.

Dans cette hypothèse, les longueurs antiques sont authentiques et les calculs sont exacts, mais les relations avec π, φ et le mètre auraient été découvertes après coup.

2. Un héritage métrologique indirect

Les unités anciennes auraient pu être fixées à partir de constructions géométriques, d’observations astronomiques, de mesures terrestres ou de rapports simples.

Ces unités auraient ensuite été transmises, adaptées et modifiées au fil des civilisations.

Les relations avec π pourraient alors être réelles sans que les anciens arpenteurs aient employé notre notation, notre valeur décimale de π ou notre définition moderne du mètre.

3. Un système savant volontaire

La troisième hypothèse suppose l’existence d’un système reliant volontairement la mesure linéaire, le cercle, les dimensions terrestres, π et le nombre d’or.

C’est évidemment la possibilité la plus fascinante, mais c’est également celle qui exige les preuves historiques et archéologiques les plus solides.

Une formule exacte découverte aujourd’hui ne suffit pas à établir qu’elle était connue et utilisée il y a plusieurs millénaires.

 Conclusion

Le rapprochement entre la coudée royale, la coudée punique, π et le nombre d’or ne repose pas sur une erreur de calcul. Les relations sont réelles et étonnamment précises :

• la coudée royale de 52,36 cm est presque égale à π ÷ 6 m ;

• elle est également très proche de π − φ² m ;

• la coudée punique de 51,5 cm est presque égale à φ ÷ π m ;

• utilisée comme diamètre d’un cercle, la coudée punique produit une circonférence proche de φ m ;

• utilisée comme rayon, elle produit une circonférence proche de 2φ m.

Le lien géométrique avec le cercle, et donc avec π, est incontestable.

Ce qui ne l’est pas encore, c’est le caractère volontaire de ces relations dans l’Antiquité.

L’intérêt de cette piste réside précisément dans l’écart entre deux certitudes : la correspondance mathématique peut être observée et vérifiée, tandis que son explication historique reste à établir.

Il ne s’agit donc ni de la preuve définitive d’un savoir oublié ni d’une curiosité que l’on devrait écarter sans examen.

C’est une hypothèse métrologique suffisamment précise pour mériter d’être testée sur d’autres étalons, d’autres monuments et, surtout, sur des sources anciennes indépendantes.

 Sources et archives

• University College London — Measuring length in Ancient Egypt

• University College London — Weights and Measures in Ancient Egypt

• Gabriel Camps — « Coudée », Encyclopédie berbère

• British Museum — règle-coudée égyptienne

• Metropolitan Museum of Art — fragment de règle-coudée du Nouvel Empire

• British Museum — papyrus mathématique Rhind

Projet22 — Cet article distingue volontairement les relations mathématiques vérifiables des interprétations historiques qui restent hypothétiques. Toute nouvelle source archéologique ou métrologique permettant de confirmer ou d’infirmer ces rapprochements pourra compléter cette étude.