Nombre narcissique : tel que 153=1^3+5^3+3^3

Analyse des nombres narcissiques jusqu’à la puissance 40

Nous avons identifié un total de 102 nombres narcissiques distincts en testant toutes les puissances de 2 à 40. Un nombre narcissique (ou nombre d’Armstrong) est un nombre égal à la somme de ses chiffres chacun élevé à la puissance du nombre de chiffres.

Remarques sur le comptage des nombres narcissiques

Le nombre 1 n’a pas été pris en compte, bien qu’il soit parfois considéré comme trivialement narcissique.

De plus, nous avons également exclu la puissance 1 de notre étude. En effet, à la puissance 1, tous les entiers de 0 à 9 sont narcissiques par définition : 0^1 = 0, 1^1 = 1, ..., 9^1 = 9

Cela rendrait l’analyse triviale et peu significative dans le cadre de cette exploration des puissances supérieures.

L’étude commence donc à partir de la puissance 2.

La puissance 3 est la première à produire un nombre narcissique non trivial : 153.

Certaines puissances ne donnent lieu à aucun nombre narcissique connu dans cette plage. Les puissances pour lesquelles aucun résultat n’a été trouvé sont :

Puissances sans nombre narcissique : 12, 15, 18, 22, 26, 28, 30, 40

Cela souligne le caractère irrégulier et fascinant de la répartition de ces nombres dans les puissances supérieures.

Tableau des nombres narcissiques jusqu’à la puissance 40

Puissance	Nombre	Somme des chiffres	Nb de chiffres
3	153	9	3
3	370	10	3
3	371	11	3
3	407	11	3
4	1634	14	4
5	4150	10	4
5	4151	11	4
4	8208	18	4
4	9474	24	4
5	54748	28	5
5	92727	27	5
5	93084	24	5
5	194979	39	6
6	548834	32	6
7	1741725	27	7
7	4210818	24	7
7	9800817	33	7
7	9926315	35	7
7	14459929	43	8
8	24678050	32	8
8	24678051	33	8
8	88593477	51	8
9	146511208	28	9
9	472335975	45	9
9	534494836	46	9
9	912985153	43	9
10	4679307774	54	10
11	32164049650	40	11
11	32164049651	41	11
11	40028394225	39	11
11	42678290603	47	11
11	44708635679	59	11
11	49388550606	54	11
11	82693916578	64	11
11	94204591914	48	11
13	564240140138	38	12
14	28116440335967	59	14
17	233411150132317	37	15
16	4338281769391370	74	16
16	4338281769391371	75	16
17	21897142587612075	75	17
17	35641594208964132	72	17
17	35875699062250035	75	17
19	1517841543307505039	71	19
19	3289582984443187032	90	19
19	4498128791164624869	99	19
19	4929273885928088826	108	19
20	63105425988599693916	108	20
21	128468643043731391252	82	21
21	449177399146038697307	107	21
23	21887696841122916288858	120	23
23	27879694893054074471405	113	23
23	27907865009977052567814	114	23
23	28361281321319229463398	96	23
23	35452590104031691935943	91	23
25	114735624485461118832514	94	24
24	174088005938065293023722	94	24
24	188451485447897896036875	135	24
24	239313664430041569350093	89	24
25	832662335985815242605070	100	24
25	832662335985815242605071	101	24
25	1550475334214501539088894	104	25
25	1553242162893771850669378	118	25
25	3706907995955475988644380	140	25
25	3706907995955475988644381	141	25
25	4422095118095899619457938	128	25
27	7584178683470015004720746	104	25
27	77888878776432530886487094	152	26
27	121204998563613372405438066	108	27
27	121270696006801314328439376	102	27
27	128851796696487777842012787	147	27
27	174650464499531377631639254	124	27
27	177265453171792792366489765	139	27
29	477144170826130800418527003	93	27
29	4716716265341543230394614213	103	28
29	5022908050052864745436221003	93	28
29	14607640612971980372614873089	129	29
29	19008174136254279995012734740	120	29
29	19008174136254279995012734741	121	29
29	23866716435523975980390369295	145	29
31	793545620525277858657607629822	150	30
31	1145037275765491025924292050346	120	31
31	1927890457142960697580636236639	153	31
31	2309092682616190307509695338915	137	31
32	17333509997782249308725103962772	150	32
33	32186410459473623435614002227248	118	32
33	186709961001538790100634132976990	140	33
33	186709961001538790100634132976991	141	33
34	1122763285329372541592822900204593	133	34
35	5250083909873201044638631458484846	148	34
35	7673249664848285722449710136138169	163	34
35	12639369517103790328947807201478392	156	35
35	12679937780272278566303885594196922	178	35
36	91097771122214850683543503173498149	149	35
37	418510620208153136884574959404115822	142	36
37	618670315011216949642642321868915308	148	36
37	1219167219625434121569735803609966019	159	37
38	7320233109580046612992702336326619665	147	37
38	7403697806790834730831423191927508283	167	37
38	12815792078366059955099770545296129367	189	38
39	16427762135335641330720936105651700735	139	38
39	83281823928125880164896079973522049472	182	38
39	83281830613691836766959173718984508549	197	38
39	115132219018763992565095597973971522400	170	39
39	115132219018763992565095597973971522401	171	39

Conclusion

L’étude des nombres narcissiques jusqu’à la puissance 40 révèle une structure à la fois fascinante et irrégulière. Alors que certaines puissances génèrent de nombreux résultats (comme la puissance 25 ou 27), d’autres, pourtant bien explorées, restent totalement vides, à l’image des puissances 2, 12, 15, 18, 22, 26, 28, 30 et 40.

Certaines anomalies attirent particulièrement l’attention, notamment les cas où plusieurs nombres narcissiques se suivent directement :

Puissance 3 : les nombres 370 et 371 sont tous deux narcissiques.

Puissance 16 : les nombres 4338281769391370 et 4338281769391371 sont consécutifs.

Puissance 25 : les nombres 3706907995955475988644380 et 3706907995955475988644381 se suivent également.

Puissance 29 : les nombres 19008174136254279995012734740 et 19008174136254279995012734741 forment un autre duo consécutif.

Puissance 39 : cas extrême avec les nombres 115132219018763992565095597973971522400 et 115132219018763992565095597973971522401, tous deux narcissiques et consécutifs malgré leur taille colossale.

Ce voisinage improbable entre certains grands nombres démontre que même dans des ensembles extrêmement rares, des regroupements surprenants peuvent apparaître.

Enfin, l’apparition de grands nombres narcissiques comportant plus de 39 chiffres témoigne de la rareté croissante de ces cas à mesure que la puissance augmente. Pourtant, leur existence prouve que même dans les extrêmes du calcul, des équilibres mathématiques étonnants subsistent.

Cette exploration invite à prolonger la recherche au-delà de la puissance 40, car l’univers des nombres narcissiques semble encore loin d’avoir livré tous ses mystères.

**Théorème 153 ou cycle narcissique d’ordre 3

Quelques soit un multiple de 3 , si on applique la règle de la puissances de 3 et nous l’appliquons à chaque résultat nous aboutissons toujours sur le nombre 153
Nous obtenons un ensemble de nombres cyclique revenant toujours à 153. Prenons un multiple : 234

2^3+3^3+4^3= 8+27+64 = 99
9^+9^3=729+729=1458
1^3+4^3+5^3+8^=702
7^3+0^3+2^3=351
3^3+5^3+1^3=153

***Commentaire sur 153

Nombre triangulaire :
Le nombre 153 est aussi un nombre triangulaire, soit :
1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+15+17=153
Prochainement une étude sera dédiée à se genre de nombre dit triangulaire

Dans la religion
Évangile de St Jean, chapitre 21, verset 11.
A savoir que le Chapitre 21 semble un appendice, dû soit à l’évangéliste soit à l’un de ses disciplines

Alors Simon-Pierre monte dans le bateau et tira à terre un filet, plein de gros poissons : 153 ; et quoiqu’il y en eut tant, le filet ne se déchira pas.

[/Source : La Bible de Jérusalem, ISBN 2-220-08028-2
/]

St Thomas d’Aquin faisait remarquer, que 153 est la somme des 17 premiers nombres : 1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+12+13+14+15+16+17=153.
Il avançait aussi que ce pourrait être le nombre de types de poissons connus dans le lac de Tibériade(voir citation ci-dessous).

**Cycle narcissique

Exemple 1 : boucle infinie

Prenons 151 avec la puissance de 3

Etape1 : 151 en puissance de 3 donne 127
Etape2 : 127 en puissance de 3 donne 352
Etape3 : 352 en puissance de 3 donne 160
Etape4 : 160 en puissance de 3 donne 217
Etape5 : 217 en puissance de 3 donne 352
boucle infinie 1 : 352 en puissance de 3 donne 160
boucle infinie 2 : 160 en puissance de 3 donne 217
boucle infinie 3 : 217 en puissance de 3 donne 352

Il faut 8 étapes pour arriver à la boucle infinie. La boucle infinie a 3 étapes.

Exemple 2 : on obtient un nombre narcissique
Prenons 222 avec la puissance de 3

Etape1 : 222 en puissance de 3 donne 24
Etape2 : 24 en puissance de 3 donne 72
Etape3 : 72 en puissance de 3 donne 351
Etape4 : 351 en puissance de 3 donne 153
Etape5 : 153 en puissance de 3 donne 153

La boucle 222 se termine par le nombre narcissique 153 apres 5 étapes

Vous pouvez utiliser notre outil en ligne pour trouver le résultat d’un nombre dont les chiffres sont éléves à la puissance x.

_{Le monde est étrange, vous ne trouvez pas ?}